【無線測距系統/下】AirTag 的物理碾壓和藍牙 6.0 的發力

群友們好！

本文是無線測距系統系列的下篇。而發表於 2024 年的 👉🏻上篇 由於論述過於寬泛和挖坑不填等原因，已經遭到了群友的批鬥 😅 更有甚者，要在我的評論區直接代替我進行續寫……我真的謝謝妳啊！！

爲了不辜負群友們的好奇心，我必須儘快嚴肅認真完成這一系列！

Contents

• 序：無線測距技術的普及
• 方案一：電老虎雷達
• 方案二：UWB 信號的物理學
• 幕間：使用 Wi-Fi 進行安卓測距的可能性
• 方案三：安卓用戶的幸福時刻
  • 1. 藍牙 6.0 標準的推出
  • 2. 基於頻率和相位差的測算
  • 3. 兩臺設備的精密配合
• 結語：技術的車輪滾滾向前

序：無線測距技術的普及

「嘀嘀嘀嘀嘀，嘀嘀嘀……]

蘋果用戶又™️在玩弄 AirTag 了！💢 安卓用戶不甘地想道。

AirTag 是 Apple 的明星產品，衆所周知的是，他們早已將超寬帶 (UWB) 測距技術玩得爐火純青。藉助遍佈世界各地的 Apple 設備，AirTag 不僅實現了遠程離線定位，而且任意一臺 iPhone 都能通過 UWB 信號來精確測量其位置和距離。Apple 一套軟硬件結合的拳法下來，安卓用戶們漏出了一聲最後的低吟「好強的生態影響力……」然後駕鶴西去。

現在反觀安卓陣營，據我所知，能勉強和 AirTag 扳一下手腕的追蹤器產品大概就只有三星的 SmartTag。它使用和 AirTag 非常相似的方案，依靠遍佈各地的三星手機和硬件 UWB 分別實現遠程定位和近距離測距。

這時候可能就有群友要問了：妳根本就沒把 Google Find Hub 放在眼裏！！！等我們谷爹一發力，以他的號召力，聯合全球安卓廠商，建立一個全球性的尋物網路豈不是輕而易舉？？——啊對對對，妳說得非常好！尋物網路真要建，直接給全球手機的 Play 服務發個更新就完事了。聽起來很美好，然而，這個願景卻有一個巨大的缺失——UWB。

沒有 UWB，精確的近距離測距就難以實現，而由於 UWB 和一般手機通信的工作頻譜完全不同，它需要一套專門的硬件。財大氣粗的 Apple 廚子一句話就能給每一臺 iPhone 塞進 UWB 功能。而安卓陣營這邊？就算谷爹有三頭六臂，面對那些油鹽不進，我行我素，爾虞我詐，偷工減料的安卓廠商，他也沒有給每一臺安卓手機強行塞 UWB 的能力。

對於大多數安卓廠商而言，引入新硬件的阻力極大，所以最好的方案就使用已有的硬件來實現新功能。2024 年底，藍牙 6.0 標準發佈。這套標準無疑給安卓版無線測距帶去了一線生機。不過在談論藍牙 6.0 到底搞了甚麼黑科技之前，請容我先談論一下雷達系統和 UWB，帶各位體會一下它們大相徑庭的技術路線。

方案一：電老虎雷達

說到測距就不能不說雷達，雷達的測距原理就是測量信號在物體上反彈帶來的時間差，簡單粗暴，容易理解；而其毛病也很簡單，太大了，太費電了。

雖然我不是很董軍事裝備，但是這大概是我能在網上找到的最小的雷達 (KLJ-7A)，用來搭載在戰鬥機上面的。

就算是這麼一個小東西，如果要供電，按保守中的保守估計的話，俺覺得也要一個外接充電寶。
啊，我指的不是妳的手機充電寶，而是這種：

那爲什麼普通的雷達會這麼費電呢？這是因爲雷達依賴於目標物體來被動反射信號，根據雷達方程：

其中左邊 $P_{r}$ 是接收功率，右邊 $P_{t}$ 是發射功率，$r$ 是與目標的距離，$\sigma$ 是目標的截面积，$A_{eff}$ 是接收天線的有效面積。

可見，如果完全依賴目標物的反射電磁波來探測，那麼雷達的接收功率會和距離的 4 次方成反比，所以當距離增加的時候，接收功率會迅速下降。爲了能接收微弱的反射電磁波，雷達必須增加輸出功率來彌補途中功率的損失。此外，接收功率還會受物體反射面積和天線面積影響，爲了能探測到小物體，雷達必須配備一個大型天線。

但是好在俺們沒必要把雷達塞進手機。因爲 AirTag 的測距不依賴於被動地反射電磁波，AirTag 會主動向 iPhone 發射信號，它還可以在接收到手機的信號之後，立刻返回一個信號，這樣 iPhone 就可以根據信號在空中飛行的時間 (ToF) 來計算距離了。

（距離 = 光速 * 信號飛行時間）

和雷達不同，手機上的測距系統不依賴目標物體被動反射電磁波，俺們也就脫離了無腦的輸出功率遊戲。下面就讓我們進入純粹優美的數學遊戲……

方案二：UWB 信號的物理學

這時候可能就有群友要問了：既然要探測的東西很近，還會主動發射信號，那爲什麼不直接用 Wi-Fi 或者藍牙來進行飛行時間 (ToF) 測距呢？

妳問得非常好！但是爲了回答妳，我先要去複習一下《通信原理》的課本，，，😅

我複習完了。讓我和妳進行一些微小的計算，以便對信號的飛行時間產生概念。

假設被測的距離是 15 米，並且要求精度要達到 15cm 以內，而電波以光速傳播，那麼俺們可以計算信號來回的時間是：

此外，該系統要分辨出 15cm 的距離差，那麼該系統能分辨出的最小時間間隔必須小於：

根據這個算式，俺們能夠計算出最小時間分辨間隔（誤差）和測距精度之間的關係，如下表所示。

表 1：時間誤差和測距誤差之間的關係

那麼，這個時間測量誤差是由甚麼決定的呢？我們已經知道，計算 ToF 需要知道信號的發送時間和返回的到達時間。發送時間很好確定，發送端打開接收機的同時開始計時就行了。問題是如何精確測量返回信號的到達時間。

工程師們會自然而然地想到：當天線上檢測到一個脈衝信號的時候，記錄到達的瞬間的時間，問題不就解決了？不過，爲了降低時間測量誤差，提高檢測的精度，這個脈衝信號必須要邊緣銳利，形狀明顯。看上去，一個方波信號是最佳的選擇。

讓我先火速產生一個持續時間爲 1ns、方方正正的方波信號——

左圖是脈衝的波形，電路一旦檢測到這個陡峭的上升沿就會記錄其到達時間。右邊是其頻譜，頻譜中間的 0 是低頻分量，往兩邊走是高頻分量。相信玩過信號處理的群友們已經開始會心一笑了，但是如果妳笑容逐漸消失也沒有關係 🥶 妳只需要知道頻譜資源有限，不可無限佔用就行了，然而這個信號似乎快佔滿了 0 ~ 10 GHz 的所有頻段。

試試調整脈衝的寬度，看看對頻譜有什麼影響。

爲了方便測量，俺們希望這個脈衝越方越好、越短越好，可是越短的脈衝信號佔用的頻譜就越寬。此外，即使放寬脈衝的寬度，其頻譜向高頻的衰減也是比較緩慢的，這種信號要是真放出來，就會對週圍無辜的設備造成干擾，這是現實世界所不允許的。俺們想要的是，信號的頻譜只在批准的範圍內存在，一旦超出批准的頻段，就立馬衰減到 0，這是墜吼的。

假設現在我們最多允許向這個脈衝信號分配 1 GHz 的帶寬，超出範圍的部分要清零。之後，還要把他搬運到 Wi-Fi 使用的 6 GHz 頻段才能發射出去。

爲了實現這些目標，俺們需要一條流水線來處理這些脈衝，如下所示：

脈衝產生之後先會經過一個帶通濾波器，消除掉 1 GHz 以上的頻率分量，記這個信號爲信號 1️⃣，待會要用示波器看。然後這個帶限脈衝被一個 6 GHz 的載波進行調製，把頻率搬到高頻，記這個高頻的輸出信號爲信號 2️⃣。

值得注意的是，對脈衝信號進行頻譜限制會導致信號變形，失去我們想要的清晰形狀。下面我使用一臺函數發生器來向妳展示信號 1️⃣ 是一個甚麼形狀。

左圖是之前的「1 ns 方波」的頻譜被低通濾波之後的結果，右圖的信號1️⃣則是被變形後的方波。可見這個方波再也不方了，變成了一個類似三角形的脈衝，並且兩邊出現了些許波紋。妳可以通過調整上面的濾波器帶寬來看看這個信號會如何變形。

值得注意的是，帶寬越寬，信號越方、越清晰；而帶寬越窄，信號越圓滑，而且兩邊波紋就越狂暴。當妳把帶寬限制在 160 MHz 以下的時候，兩邊的波紋已經儼然成爲瘋狂宇宙，原來的形狀早已消失不見。由於其邊緣不再清晰，我們將無法精確地測出它的到達時間，就像這樣：

最終導致無法進行精確的測距。

還記得上面那個對照表嗎？在無線測距中，時間測量上的差之毫釐，將是距離測量上的謬以千里。因此，只有帶寬足夠寬、形狀足夠清晰的的脈衝才能被用來精確測距。

工程上，在採樣率足夠的前提下，一個信號能提供的時間分辨率 $\Delta t$ 和其帶寬 $BW$ 粗略具有如下關係：

根據這個關係，俺們可以把上面那個表擴充一下：

表 2：時間誤差/測距誤差/信號帶寬之間的關係

綜上，超寬帶信號所具有的波形清晰、容易測量的性質，已經使其成爲測距解決方案中的蘋果技術。它可以提供釐米級別的測量精度，就算成本較高，它也還是理所當然地得到了 AirTag 的重用，可謂是門當戶對。

出於好奇心，在結束本章之前，我還想看看在空中飄過的 UWB 信號究竟是長什麼樣的。根據上面的框圖，帶限方波信號1️⃣在和 6 GHz 載波混合之後會成爲已調信號2️⃣，這個信號會被進一步放大，然後從天線發射出去。

讓俺們把信號1️⃣和信號2️⃣擺在一起看看：

左圖是帶限方波信號，右邊則是調製後的輸出信號。妳可以調整方波輸出寬度，然後就會發現只要帶寬不變，其上升沿的陡峭程度是不會變的。換句話說，測量的精確度取決於上升沿的陡峭程度，也就取決於信號的帶寬。

俺們還可以發現，右邊那團波形的包絡具有左邊信號的形狀。這個載波雖然看上去是一個平平無奇的正弦波，但是妳要知道，它已經來到了 6 GHz 的高頻段，其週期只有轉瞬即逝的 $1.67\times10^{-10}$ 秒。而這麼一個 UWB 脈衝也只具有區區十幾個個波峰的寬度，屬於是在空間和時間上的極限壓縮。

我希望這裏的內容能給妳一點想像的素材——當妳下次看到 AirTag 的時候，正好有一團團超級狹窄的波從妳眼前瞬間掠過，而接收機在捕捉到這個波之後，可以準確地測出它的到達時間。

幕間：使用 Wi-Fi 進行安卓測距的可能性

看到這邊，可能就有安卓群友想要問了：現在 Wi-Fi 的頻道帶寬動輒 160 MHz，如果可以接受一米的安卓誤差，感覺拿來測距也不難吧？——妳問得非常好！但是我很遺憾地告訴妳，現有的 Wi-Fi 硬件就不是爲了發射短脈衝而設計的，在不對硬件或者物理層進行暴力魔改的情況下，很難用來測距。讓俺們來看一眼 5 GHz 的 Wi-Fi 信號的幀格式：

如圖所示，按照 Wi-Fi 的玩法，光是發送一個 QAM 符號就需要 4 μs (4000 ns)，而一個幀需要上百個符號，發送這些符號需要大量的時間。並且，長信號更容易受到多徑效應的影響，使得其邊緣更加難以測量。很明顯，這樣的信號是爲了傳輸數據而打造，而不是用來測距的。

說一句題外話，這張圖展示的僅僅是是一路信號的格式。在 160 MHz 的 Wi-Fi 中，共有 468 路這樣的信號（子載波）共同承擔傳輸任務。這些子載波中的 QAM 符號會在最後被合成一個巨大的 OFDM 符號發射出去，從而最大化吞吐量。

OFDM（正交頻分復用）是我在學習數字信號處理時最喜歡的部分。它使用了最優美的數學，通過最靈巧的方法構造信號；它還和快速傅里葉變換 (FFT) 一起，解決了曾經被視爲最無解的問題。基於 OFDM 的工程成果已經最深入地覆蓋到了世界上的每一個角落，而如果 OFDM 未曾被發明，妳手機的網速可能永遠不會比 2007 年那時的更快。

現在讓我們回到無線測距。俺們已經知道，對於 ToF 測距，一套專門的 UWB 硬件和協議是必不可少的。可是光是「安裝新硬件」這個門檻，就能勸退大部分降本增笑的安卓廠商，無線測距的普及似乎成爲了遙不可及的夢想。

方案三：安卓用戶的幸福時刻

1. 藍牙 6.0 標準的推出

AirTag 第一代於 2021 年發佈，而 iPhone 首次對 UWB 的支持卻出現在了 2019 年的 iPhone 11 上。可見在 AirTag 推出前，Apple 就已經提前爲 UWB 技術鋪好了道路。在 AirTag 推出的那一刻，人們驚奇地發現這玩意居然是無需折騰、開箱即用的，彷彿一切都已經在暗中安排好了。

一時間，人們被震撼親媽，對這個充滿了魔力的小玩具交口稱讚。評測視頻也是鋪天蓋地而來，我還記得那時一晚上就看了三條不同的評測視頻。

最令我震撼的部分莫過於 iPhone 可以實時地，精確地，同時測量 AirTag 的距離和方向。如果說 Apple 的軟件可以被山寨，雲服務和生態可以被追趕，那麼硬件的差距就是橫在 Apple 和安卓廠商之間的天塹。

身爲一個安卓人，俺從那時起就一直在想，這功能啥時候能下放安卓啊。想着想着，時間就來到了 2024 年。九月的一天，正在瀏覽科技類新聞的我看到了一個標題——

《藍牙 6.0 標準公開：支持無線測距》😇

甚麼？安卓用戶的幸福時刻要到來了？俺連夜學習技術文檔，得知了工程師們通過對硬件做出最低限度的更改，並利用一種叫「基於相位測距 (Phase-Based Ranging/PBR)」的技術，巧妙地把無線測距功能搬到了藍牙上。

當時的俺覺得，PBR 是帶着鐐銬跳舞的技術，是藍牙在面對 UWB 時唱出的最後的悲歌 😅 不過這玩意確實值得掰一掰，於是我發表了一篇 blog 叫《無線測距系統的奧妙（上）》。

可是在下篇應該怎麼寫這件事上，我陷入了江局。因爲在手撕 PBR 之前，我需要先解釋 UWB；要手撕 UWB，就必須理解數字信號處理和通信原理的一些知識，而當時的俺還不具備把示波器搬上 blog 的能力，光是文字描述也沒法傳授這些知識。於是這個系列就沒了下文。

2026 年，我對於這個話題已經變得足夠普通且自信，現在就讓我來把這個坑填了吧！

2. 基於頻率和相位差的測算

藍牙的工作頻率在 2.4 G 附近，並且單個頻道帶寬是 2 MHz 甚至是 1 MHz。根據俺們之前的分析，這麼窄的信道帶寬沒法產生足夠尖銳的脈衝，也就無法測出脈衝的到達時間，導致其無法進行 ToF 測距。所以不要再問「爲什麼我不能在檢測到波形的一瞬間記錄時間」了 😇

那麼這次藍牙 6.0 的 PBR 究竟是用了甚麼黑魔法來實現測距的呢？
從數學上來看，PBR 可以被概括爲一句話：

• 利用多個已知頻率間隔的載波，通過測量接收信號的相位差（$\Delta\phi$）的變化量與頻率變化（$\Delta f$）的線性比例關係 (斜率) 來計算飛行距離（$d$）：

按照普通通信教材 (普信教材) 的劇本，接下來就要進行數學推導了。首先是列兩個正弦波方程，然後在一通不知所云的求解之後會得到上面那個式子。不幸的是，我以往接受的就是這種神魔教育。而這種教育方法能真正教會學生嗎？如會。我也知道大家很討厭這種教科書式寫法，所以這裏我決定略過數學推導，讓我們先想象以下場景——

現有 A、B 兩臺藍牙設備如下，他倆天賦異稟，內部振盪器完全同步。

現在把他倆分開，其距離未知。爲了測量這段距離，A 向 B 發出了一道 2.4 GHz 的正弦波：

根據 $\lambda = c/f$，這個波的波長是 0.125 米。要求解 AB 之間的距離，只需要知道他倆之間有多少個波長就好了。但是 B 並不具有上帝視角，沒法看到波在半途中的狀況，他能看到的就只有波到達自己的時候的相位（右邊的橙色圓圈）。由於 B 和 A 的振盪器完全同步，B 可以計算出這個波在終點時相對於起點時的相位差 $\Delta \phi_1$：

B 並不知道這個信號到達自己之前在空中到底轉過了多少圈，所以相位差上面會有一個 $360\degree \times n_1$ 的未知項。只要……只要能求出在空中轉過的圈數 $n_1$，再用相位差算出最後的小半圈是多長，兩者之間的距離 $d$ 就近在眼前了，他們之間的關係是：

我們需要嘗試構造一個方程來解出 $d$。爲此，我們可以讓 A 改變發射頻率到 2.41 GHz：

然後讓 B 重新測量相位差 $\Delta \phi_2$：

重新列出算式：

觀察上述兩個方程可知，俺們現在有 $d$、$n_1$、$n_2$ 三個未知數，要解出 d 就必須要消滅掉其中一個 n。那麼現在我們想要知道的是，這個波在改變了一點點頻率，再次到達 B 的時候，在空中轉過的完整圈數是否改變了呢？陷入沉思……

• 頻率提高了一點點（提高了 10 MHz）
• 波長縮短了一點點（縮短了 0.52 毫米）
• 這個波在空中轉過了好多好多圈，要是每一圈的波長都縮短了一點點的話……
• 有沒有可能要多轉一圈才能到達 B？
• 假設這個波多轉了一圈，相當於波長的縮短在這麼長距離的累積下，總共縮短了一個 $\lambda$（這裏算波長是 0.125 米）
• 每一圈縮短 0.52 毫米，累積要縮短 0.125 米的話，波在空中至少要轉 241 圈
• 241 個波長相當於 30 米

也就是說，在俺們的實驗條件下，只要測距距離不超過 30 米，就算稍微調整了一下頻率（調整了一下彈簧的緊密程度），波在空中旋轉過的完整圈數是不會變的。於是我們就可以對比兩次測量得出的「最後那一小截角度（相位差）」來反推出總距離。

根據上述思考，$n_1=n_2$。現在留給我們的就是兩個方程求解兩個未知數了，在一通高中水平的代數操作和化簡過後，解得：

轉過的完整圈數：

所求距離：

從式子中可見，距離和「相位差的變化除以頻率的變化」成正比。要是我們畫一張圖，橫軸是頻率 $f$，縱軸是在這個頻率下測量得到的相位差 $\Delta \phi$，然後把測量結果的點畫上去，用直線連起來，這個直線的斜率乘上 $\frac{c}{2\pi}$ 就是我們想要的距離了。上面舉的例子屬於是測量兩個點然後計算直線斜率的方法。

爲了提高測距的精確度，藍牙設備在測量相位差時，會嘗試多更換幾個頻點來避免干擾和測量誤差，如上圖所示。在每個頻點的測量全部完成之後，設備會用直線進行擬合，然後計算出所需的斜率，求解出最終的距離。

3. 兩臺設備的精密配合

到了這邊，數學原理的部分就講完了。但是別忘了，俺們的理論中還有一塊最大的缺漏——俺們在一開始假設了 A 和 B 的內部振盪器完全同步，但是這是不可能的。試想大街上走來一個人，妳會覺得她的腦迴路和妳同步嗎？所以現實中大概率是這樣的：

由於 B 的振盪器和 A 不同步，計算相位差的任務就不能交給 B 來做了，因爲 B 根本不知道出發時候的相位是啥。那麼剩下的路只剩一條： A 親自上陣，親自測量波返回時和出發時的相位差。

爲了達成這個目標，B 需要配合 A，將接收到的波形按照原頻率、原相位發射回去。這聽上去是個不可能的任務，妳該怎麼精確追蹤每秒變動幾十億次的波形……但是世界上有一種好用的東西叫做鎖相環，B 可以用鎖相環的輸出信號來精確同步自己的內部振盪器。

最後，整個系統的工作狀態如下所示。注意右邊 B 的振盪器相位和接收信號的相位鎖定。

按照老方法，在 A 處求出這個頻率下的相位差爲：

這之後的步驟就和之前討論的一樣了：多取幾個不同的頻率，測出相位差，描點並擬合斜率。在 B 充當反射端的場景下，測出的長度是信號一去一回的路程，所以最終距離的公式，應該給上面方程的解除以 2：

最後，爲了方便妳理解，我畫了一個 PBR 測距流程圖，希望妳能看懂 😋

結語：技術的車輪滾滾向前

在這篇文章中，俺們分別探討了 AirTag 和藍牙 6.0 中的無線測距的原理。AirTag 使用 UWB 信號，直接測量脈衝的飛行時間來計算距離；而藍牙 6.0 由於信號帶寬太窄，無法產生用來測距的脈衝，因而採用了通過測量相位差來間接求解距離的方法。無論是哪種方法，文中提到的數學原理只是冰山一角，而要讓整個系統跑起來，通信協議、安全和加密、硬件校準和抗干擾等方面的考慮也是必不可少的。

基於相位的測距 (PBR) 的思想最早源於上個世紀，彼時的戰爭年代推動了包括 PBR 在內的雷達科技的極大進步。然而，把 PBR 塞進個人電子產品的想法應該是本世紀才出現的。藍牙作爲一種被廣泛使用的硬件標準，爲 PBR 提供了實踐的舞臺；而藍牙自己也在渴求着進行無線測距的能力，他們就這麼雙向奔赴了。我覺得，這篇 2019 年的論文『👉🏻A high-accuracy phase-based ranging solution with Bluetooth Low Energy (BLE)』應該是第一個把 PBR 塞進藍牙的嘗試。

截至我在寫這篇文章的時候，AirTag 已經出了第二代，市場上也出現了一些搭載藍牙 6.0 的手機和筆電，但是我卻沒有找到利用藍牙 6.0 進行測距的追蹤器硬件或者 APP。即使藍牙 6.0 不需要額外硬件，讓那些奸詐狡猾的安卓廠商升級現有硬件也是需要一些時間的。讓我們靜觀其變，我預測國內安卓廠商開始對這項技術進行自吹自擂的場景，應該會發生在今年下半年……😇

技術的車輪確實在滾滾向前，只不過，一項技術從紙上的數學公式到最終成爲產品，需要幾年甚至幾十年的時間。UWB 如此，PBR 如此，就連 FFT 在無孔不入地滲透到人類生活之前，都經歷了半個多世紀的發展。下一次，當我們再看到一些習以爲常的科技產品時，不要忘記「讓數學公式成爲現實」的工程學精神和一代代工程師們的不懈努力。